题目
题型:不详难度:来源:
如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点A、B, 将直线按向量平移得到直线,为上的动点,为抛物线弧上的动点.
(Ⅰ) 若 ,求抛物线方程.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)求的最小值.
答案
(3)当时,的最小值为.
解析
(1)根据抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p=4p,再由已知条件,得到抛物线的方程;(2)设直线l的方程及N点坐标和A(x1,y1),B(x2,y2),利用向量坐标运算,求得
的以N点坐标表示的函数式,利用二次函数求最值的方法,可求得所求的最小值.
解:(1)由条件知,则,消去得:①,则,由抛物线定义,
又因为,即,则抛物线方程为.-------------3分
(2)由(1)知和,设,则到距离:
,因在直线的同侧,所以,
则,即,
由①知
所以,则当时, ,
则.----------------------8分
(3) 设,,
则,
即
由①知,,,,则,即,当时,的最小值为.
(其它方法酌情给分)-------- ------12分
核心考点
试题【(本题分12分)如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点A、B, 将直线按向量平移得到直线,为上的动点,为抛物线弧上的动点.(Ⅰ) 若 ,求抛物线方】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B.2 | C. | D. |
(1)当O′点运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论;
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系,并说明理由.
A. | B. | C. | D. |
已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足
(为坐标原点),记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.
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