题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于(　　)
(A)    (B)    (C)       (D)2

答案

D

解析

法一　设直线方程为y=k(x-2),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),
由
得k²x²-4(k²+2)x+4k²=0,
∴x₁+x₂=,
x₁x₂=4,
由·=0,
得(x₁+2,y₁-2)·(x₂+2,y₂-2)=(x₁+2)(x₂+2)+[k(x₁-2)-2][k(x₂-2)-2]=0,
代入整理得k²-4k+4=0,
解得k=2.故选D.
法二　如图所示,设F为焦点,取AB中点P,
过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,
连接MF,MP,

由·=0,
知MA⊥MB,
则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),
所以MP为直角梯形BHGA的中位线,
所以MP∥AG∥BH,
所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,
又|AG|=|AF|,
|AM|=|AM|,
所以△AMG≌△AMF,
所以∠AFM=∠AGM=90°,
则MF⊥AB,所以k=-=2.