已知抛物线y2＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为________． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y²＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为________．

答案

0＜p＜

解析

设抛物线上关于直线x＋y＝1对称的两点是M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，设直线MN的方程为y＝x＋b.将y＝x＋b代入抛物线方程，得x²＋(2b－2p)x＋b²＝0，则x₁＋x₂＝2p－2b，y₁＋y₂＝(x₁＋x₂)＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为(p－b，p)．因为点P在直线x＋y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1.又Δ＝(2b－2p)²－4b²＝4p²－8bp＞0，将b＝2p－1代入得4p²－8p(2p－1)＞0，即3p²－2p＜0，解得0＜p＜

核心考点

试题【已知抛物线y2＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为________．】；主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线y²＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b²≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M₁、M₂，当M变动时，直线M₁M₂恒过一个定点，此定点坐标为________．

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在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1，0)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．

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已知抛物线x²＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.