题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
答案
解析
则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0.
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以,直线AM的斜率为kAM=x1,
所以,直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y1,
所以,直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①,同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②,
②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,即A、M、B三点的横坐标成等差数列.
(2)解:由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).
所以kMF==-,则直线MF的方程为y=-x+1,
设C(x3,y3),D(x4,y4)由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,
所以x3+x4=-,x3x4=-4,又|AB|=
==4(k2+1),
|CD|==
,
因为kMF·kAB=-1,所以AB⊥CD,
所以SACBD=|AB|·|CD|=8≥32,
当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.
核心考点
试题【已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M.(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且=λ,直线OP与QA交于点M,问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(1)若圆心在抛物线上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线相切,求所有的圆都经过的定点坐标;
(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;
(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件.
为,则焦点到准线的距离为( )
A. | B. | C. | D. |
和直线的距离之和的最小值是( )
A. | B.2 | C. | D.3 |
A. | B. | C. | D. |
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