题目
题型:不详难度:来源:
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点任作一直线与点的轨迹交于两点,直线与直线分别交于点(为坐标原点);
(i)试判断直线与以为直径的圆的位置关系;
(ii)探究是否为定值?并证明你的结论.
答案
解析
试题分析:(1)假设P点坐标,由,,经向量的坐标运算,易得P的轨迹方程. (2)(i)A,B,两点到准线的距离与到焦点距离相等,又是方程的准线,结合图形,易得直线与圆相切. (ii)假设过F点的直线方程AB为 与抛物线方程联立,求得A,B两点坐标.写出OA,OB所在直线方程,求出与的交点坐标,转化为向量的坐标运算,可知=0
试题解析:
解:(1)设动点的坐标为,则 1分
又,由得 2分
即亦即 3分
代入即得:动点的轨迹的方程为: 4分
(2)由(1)知动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,设直线的方程为;点的坐标分别为.
(i)设两点到准线的距离分别为,则,
设的中点到准线的距离为, 5分
则 7分
直线与以为直径的圆相切. 8分
(注:直接运算得到正确结果同样给分)
(ii)由得, 10分
的方程为,即由得点的坐标为,
同理可得点的坐标为, 11分
于是 12分
因此为定值,且定值为0. 13分
核心考点
试题【已知定点与分别在轴、轴上的动点满足:,动点满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点任作一直线与点的轨迹交于两点,直线与直线分别交于点(为坐标原点);(i)试】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)在抛物线上求一点,使点到直线的距离最小;
(2)如图,过点作直线交抛物线于A、B两点.
①若直线AB的倾斜角为,求弦AB的长度;
②若直线AO、BO分别交直线于两点,求的最小值.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线,切点分别为P、Q,若P,Q,O(O为原点)三点共线,求点N的坐标.
(1)用、表示出点、点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积,证明的面积与、无关,只与有关;
(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连、,再作与、平行的切线,切点分别为、,小张马上写出了、的面积,由此小张求出了直线与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.
已知抛物线上的点到焦点的距离等于4,直线与抛物线相交于不同的两点、,且(为定值).设线段的中点为,与直线平行的抛物线的切点为..
(1)求出抛物线方程,并写出焦点坐标、准线方程;
(2)用、表示出点、点的坐标,并证明垂直于轴;
(3)求的面积,证明的面积与、无关,只与有关.
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