题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线交的下半部分于点,交的左半部分于点,点坐标为,求△面积的最小值.
答案
解析
试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用抛物线的标准方程得到焦点的坐标,从而得到向量坐标,联立2个抛物线方程,解方程组,可求出A点坐标,从而得到向量的坐标,由于,所以,利用这个方程解出P的值,从而得到抛物线的方程;第二问,先设出过点O的直线方程,直线和抛物线联立,得到M点坐标,直线和抛物线联立得到N点坐标,由于,利用两点间距离公式得到3个边长,再利用基本不等式求面积的最小值.
试题解析:(1)由已知得:,,∴ 1分
联立解得或,即,,
∴ 3分
∵,∴ ,即,解得,∴的方程为. 5分
『法二』设,有①,由题意知,,,∴ 1分
∵,∴ ,有,
解得, 3分
将其代入①式解得,从而求得,
所以的方程为. 5分
(2)设过的直线方程为
联立得,联立得 7分
在直线上,设点到直线的距离为,点到直线的距离为
则 8分
10分
当且仅当时,“”成立,即当过原点直线为时,11分
△面积取得最小值. 12分
『法二』联立得,
联立得, 7分
从而,
点到直线的距离,进而
9分
令,有, 11分
当,即时,
即当过原点直线为时,△面积取得最小值. 12分
核心考点
试题【已知抛物线:和:的焦点分别为,交于两点(为坐标原点),且.(1)求抛物线的方程;(2)过点的直线交的下半部分于点,交的左半部分于点,点坐标为,求△面积的最小值.】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C.(0,1) | D.(1,0) |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
为平面内的动点,且满足,.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点是直线:上任意一点,过点作轨迹的两条切线,,切点分别为,,设切线,的斜率分别为,,直线的斜率为,求证:.
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