题目
题型:湖南省高考真题难度:来源:
(1)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同;
(2)试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由。
答案
则
两式相减得
因为x1≠x2
所以y1+y2≠0
设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是,则
从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P(x0,0)在直线上,
所以
而于是
故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2;
(2)由(1)知,弦AB所在直线的方程是,代入中
整理得 (·)
则是方程(·)的两个实根,且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则
因为
于是设t=,则t∈(0,4x0-8)
记
若,则
所以当,即=2(x0-3)时,l有最大值
若,则,在区间上是减函数
所以,l不存在最大值
综上所述,当x0>3时,点的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为2(x0-1);当2<x0≤3时,点的“相关弦”的弦长中不存在最大值。
核心考点
试题【若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x>2时,点P(x,0)存在】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线l1:x=-的垂线,对应的垂足分别为M、N,求证=0;
(3)记S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的点),,求λ的值.
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值。
B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]
D.[-1,3]
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