题目

题型：同步题难度：来源：

设F是抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且与抛物线G的对称轴垂直的直线被抛物线G截得的线段长为4。
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值。

答案

解：（I）∵抛物线G的焦点为， 
∵直线与G的交点为， 
∴依题意可得，
∴p=2， 
∴抛物线G的方程为；
（II）设，
由题意知，直线AC的斜率k存在，且，
∵直线AC过焦点F（1，0），
所以直线AC的方程为，
∵点A，C的坐标满足方程组
∴消去y得：，
由根与系数的关系得：
∴
，
因为，
所以BD的斜率为，从而BD的方程为，
同理，可以求得：，
∴，
当且仅当时，等号成立，
所以，四边形ABCD面积的最小值为32。