已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点F1且垂直于C2的两个焦点所在的轴，若抛物线C1与椭圆C2的一个交点是M（，）．求 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过椭圆C₂：

（a＞b＞0）的一个焦点
F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与椭圆C₂的一个交点是M（

，

）．求抛物线C₁及椭圆C₂的方程．

答案

解：由题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）
∵点M（

，

）在抛物线上，∴p=2
∴抛物线C₁的方程为y²=4x
∴F₁（﹣1，0），F₂（1，0），∴c=1
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=4，
∴a=2，b=

∴椭圆C₂的方程为

核心考点

试题【已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点F1且垂直于C2的两个焦点所在的轴，若抛物线C1与椭圆C2的一个交点是M（，）．求】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]

举一反三

以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是 [ ]
A．y=3x²或y=﹣3x²B．y=3x²C．y²=﹣9x或y=3x²D．y=﹣3x²或y²=9x

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抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x﹣n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
（1）用m，x表示f（x）=0．
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）．
（3）若

，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=（x）均相切，求y=f（x）

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设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为

；求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。

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已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

（

）+2。
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值，若不存在，说明理由。

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已知抛物线L的方程为x²=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦

．
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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