题目

题型：期末题难度：来源：

附加题
过抛物线y²=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且
λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

答案

解：（1）过点A的切线方程为y=x+1． 
切线交x轴于点B（﹣1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．
所以 ．                            （1）
由  =（1+λ） ． （2）
同理由  =λ₁ ，得 =（1+λ₁） ，（3）
  =λ₂ ，得 =（1+λ₂） ．     （4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得 ．
因为E、P、F三点共线，所以  + =1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ= ．
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．
所以，x= ，y= ．
解得x₀=3x，y₀=3y﹣2，代入y₀²=4x₀得，（3y﹣2）²=12x．
由于x₀≠1，故x≠3．
所求轨迹方程为（3y﹣2）²=12x （x≠3）．