题目

题型：北京高考真题难度：来源：

已知双曲线C：（a＞0，b＞0），F₁、F₂分别为C 的左、右焦点。P为C右支上一点，且使∠F₁PF₂=，又 △F₁PF₂的面积为。
（1）求C的离心率e；
（2）设A为C的左顶点。Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0），使得∠QF₂A= λ∠QAF₂恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，在△PF₁F₂中，由余弦定理，
 



∴
∴。 
 （2）由（1），双曲线方程为
若QF₂⊥x轴，此时Q（2a，3a），c=2a，△QAF₂为等腰Rt△
∠QAF₂=
下证
令
tan∠QF₂A=

tan2∠QAF₂=
tan∠QF₂A
∴存在常数，使∠QAF₂=∠QF₂A恒成立。