题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知双曲线C：（a>b>0）和圆O：x²+y²=b²（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x₀，y₀）引圆O的两条切线，切点分别为A，B。
（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值。

答案

解：（1）因为a>b>0，
所以
所以
由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，
所以
因为
所以
所以
故双曲线离心率e的取值范围为。
（2）因为
所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为
 
因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，
所以联立方程组
消去x²，y²，即得直线AB的方程为x₀x+y₀y=b²。（3）由（2）知，直线AB的方程为x₀x+y₀y=b²，
所以点O到直线AB的距离为
因为 

所以三角形OAB的面积

因为点P（x₀，y₀）在双曲线上，
所以，
即
设
所以
因为S"
所以当0＜t＜b时，S">0，当t>b时，S"＜0
所以
在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减，
当，即时，
S_最大值=
当，即时，
S_最大值=
综上可知，当，S_最大值=
当时，S_最大值=。