题目

题型：湖南难度：来源：

设F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂=30°的最小内角为30°，则C的离心率为______．

答案

因为F₁、F₂是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF₁|+|PF₂|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a
所以|F₁F₂|=2c，|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵△PF₁F₂的最小内角∠PF₁F₂=30°，由余弦定理，
∴|PF₂|²=|F₁F₂|²+|PF₁|²-2|F₁F₂||PF₁|cos∠PF₁F₂，
即4a²=4c²+16a²-2c×4a×

3

，
∴c²-2

3

ca+3a²=0，
∴c=

3

a
所以e=

c

a

=

3

．
故答案为：

3

．