题目

题型：湖南难度：来源：

已知双曲线x²-y²=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）．
（I）证明

CA

•

CB

为常数；
（Ⅱ）若动点M满足

CM

=

CA

+

CB

+

CO

（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

答案

（I）证明：由条件知F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2，

2

)，(2，-

2

)，
此时

CA

•

CB

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．
代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．
则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，
于是

CA

•

CB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)=（k²+1）x₁x₂-（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+1)

k2-1

+4k2+1=（-4k²-2）+4k²+1=-1．
综上所述，

CA

•

CB

为常数-1．
（II）证法一：由条件知F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设M（x，y），则

CM

=(x-1，y)，

CA

=(x1-1，y1)，

CB

=(x2-1，y2)，

CO

=(-1，0)．由

CM

=

CA

+

CB

+

CO

得：

x-1=x1+x2-3 y=y1+y2

即

x1+x2=x+2 y1+y2=y

于是AB的中点坐标为(

x+2

2

，

y

2

)．
当AB不与x轴垂直时，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+2 2 -2

=

y

x-2

，即y1-y2=

y

x-2

(x1-x2)．
又因为A，B两点在双曲线上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x+2）=（y₁-y₂）y．
将y1-y2=

y

x-2

(x1-x2)代入上式，化简得x²-y²=4．
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
所以点M的轨迹方程是x²-y²=4．
证法二：同证法一得

x1+x2=x+2 y1+y2=y

①
当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1+x2=

4k2

k2-1

．②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(

4k2

k-1

-4)=

4k

k2-1

．③
由①②③得x+2=

4k2

k2-1

．④y=

4k

k2-1

．⑤
当k≠0时，y≠0，由④⑤得，

x+2

y

=k，将其代入⑤有y=

4× x+2 y

(x+2)2 y2 -1

=

4y(x+2)

(x+2)2-y2

．整理得x²-y²=4．
当k=0时，点M的坐标为（-2，0），满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
故点M的轨迹方程是x²-y²=4．