题目

题型：不详难度：来源：

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点，P为椭圆上一点且

PF1

•

PF2

=c2，则此椭圆离心率的取值范围是______．

答案

由椭圆的定义得：
PF₁+PF₂=2a
平方得：|PF₁|²+|PF₂|²+2PF₁PF₂=4a²．①
又∵

PF1

•

PF2

=c2，
∴|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=c²，②
由余弦定理得：
|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=F₁F₂²=4c²，③
由①②③得：cos∠F₁PF₂=

c 2

2a 2-3c 2

≤1⇒

2

c≤a⇒e≤

2

2

|PF₁|•|PF₂|=2a²-3c²，又|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a 2
∴2a²-3c²≤a²⇒a²≤3c²⇒e≥

3

3

则此椭圆离心率的取值范围是：[

3

3

，

2

2

]
故答案为：[

3

3

，

2

2

]．