题目

题型：不详难度：来源：

设双曲线H: -=1(a>0,b>0)满足如下条件:①ab=;②直线l过右焦点F,斜率为,交y轴于点P,线段PF交H于Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1.求双曲线的方程.

答案

x²-=1.

解析

设c=,则F(c,0),l的方程y=(x-c),
令x=0,得P(0,-c).
设Q(x₀,y₀),则由λ==2,有x₀=c,y₀=-c.
∵Q在H上,
∴(c)²-()²=1,
即(1+)-(+1)=1.
令t=,则上式变为(1+t)-(1+)=1,
16t²-41t-21=0.
∴t=3,t=-(舍去).
=3,又ab=,
∴b²=3,a²=1.
∴H的方程是x²-=1.