题目
题型:期末题难度:来源:
(1)求曲线E的方程;
(2)记点F(﹣2,0),曲线E上的任意一点C(x1,y1)满足:x1<﹣1,x1≠﹣2且y1>0.
①求证:∠CFB=2∠CBF;
②设过点C的直线x=my+b与轨迹E相交于另一点D(x2,y2)(x2<﹣1,y2<0),若∠FCB与∠FDB互补,证明代数式3m2﹣4b的值为定值,并求出此定值.
答案
∴ , ,
∵PA与PB的斜率之积为3,
∴ ,x≠±1,
∴ .
(2)①设∠CFB=α,∠CBF=β,β为锐角,
则tanα= ,tanβ= , ,
∴tan2β= = = =tanα.
②由题意C(x1,y1),y1>0,D(x2,y2),y2<0,
联立 ,得(3m2﹣1)y2+6mby+3b2﹣3=0,
则△=12(b2+3m2﹣1)>0, , ,
∵k= ,∴ ,∴3m2﹣1<0,
故 ,
设∠DFB=γ,∠DBF=θ,
∵ ,tan , ,
∴tan2θ= = =﹣ =tanγ,
∵2θ∈(0,π),γ∈(0,π),
∴γ=2θ,即∠DFB=2∠DBF,
∵α,2β∈(0,π),
∴由(2)①得α=2β,即∠CFB=2∠CBF,
又∠DFB=2∠DBF,
∴∠FCB与∠FDB互补,即∠FCB+∠FDB=π,
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π,则 ,
由到角公式,得 = , ∴ = ,
即 ,
∴3m2﹣1=4b+4,
∴3m2﹣4b=5(定值).
核心考点
试题【已知点A(﹣1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足:PA与PB的斜率之积为3.设动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)记点F(﹣2,0),曲线】;主要考察你对双曲线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求双曲线方程;
(2)过F的直线L1交双曲线于A,B两点,若弦长|AB|不超过4,求L1的斜率的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)若双曲线上的一点满足,求的值;
(3)若直线与双曲线交于不同的两点,且在以为圆心的圆上,求实数的取值范围。
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在经过点(0,-1)的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B,且线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P、Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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