题目

题型：模拟题难度：来源：

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为。
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l是圆O：x²+y²=2上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，证明∠AOB的大小为定值。

答案

解：（1）由题意，得
解得
∴
∴所求双曲线C的方程为。
（2）点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在圆上，切线方程为
由及
得
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且
∴，且
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则

∵



∴cos∠AOB=0，
又∵∠AOB∈（0，π），
∴∠AOB的大小为定值。