题目

题型：北京高考真题难度：来源：

已知椭圆G：，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点，
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值。

答案

解：（Ⅰ）由已知得a=2，b=1，
所以，
所以椭圆G的焦点坐标为，
离心率为；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1，当m=1时，切线l的方程x=1，
点A、B的坐标分别为，此时；
当m=-1时，同理可得；
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），
由，得，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
又由l与圆相切，得，即，
所以
，
由于当m=±3时，
所以，
因为且当时，|AB|=2，
所以|AB|的最大值为2。