题目

题型：江苏模拟难度：来源：

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆离心率e的取值范围是 ______．

答案

设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜

π

2

）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12 a²≥16 c²，
∴

5

3

≤

c

a

≤

3

2

即e∈[

5

3

，

3

2

]
故答案为：[

5

3

，

3

2

]