题目

题型：茂名二模难度：来源：

在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C₁：

x2

2

+y²=1上，动点Q是动圆C₂：x²+y²=r²（1＜r＜2）上一点．
（1）求证：动点P到椭圆C₁的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）设椭圆C1上的三点A（x₁，y₁），B（1，

2

2

），C（x₂，y₂）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．
（3）若直线PQ与椭圆C₁和动圆C₂均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．

答案

（1）证明：设动点P（x₀，y₀），则

x02

2

+y02=1，
右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：

(x0-1)2+y02

|x0-2|

=

(x0-1)2+y02 (x0-2)2

=

(x0-1)2+1- x02 2 (x0-2)2

=

2

2

，
而a=

2

，c=1，所以离心率e=

2

2

，
故动点P到椭圆C₁的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）可得|AF|=

2

2

(2-x1)，|BF|=

2

2

(2-1)，|CF|=

2

2

(2-x2)，
因为2|BF|=|AF|+|CF|，
所以

2

2

(2-x1)+

2

2

(2-x2)=2×

2

2

(2-1)，即得x₁+x₂=2，
因为A，C在椭圆上，故有

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，两式相减整理得：
kAC=

y2-y1

x2-x1

=-

x2+x1

2(y2+y1)

=-

1

y2+y1

，
设线段AC的中点（m，n），而m=

x1+x2

2

=1，n=

y1+y2

2

，
所以与直线AC垂直的直线斜率为k^′_AC=y₂+y₁=2n，
则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（

1

2

，0）；
（3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于直线方程PQ与椭圆C₁相切，点P为切点，从而有
由

y1=kx1+m x12 2 +y12=1

得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，
故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0，从而可得m²=1+2k²，x₁=-

2k

m

①，
直线PQ与圆C₂相切，则

|m|

1+k2

=r，得m²=r²（1+k²）②，
由①②得k2=

r2-1

2-r2

，且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r²=x12+（1-

x12

2

）-r²
=1+

x12

2

-r²=1+

2k2

1+2k2

-r²=3-r²-

2

r2

≤3-2

2

=(

2

-1)2，即|PQ|≤

2

-1，
当且仅当r2=

2

∈(1，4)时取等号，
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为

2

-1．