题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知椭圆C：的长轴长为4.
（1）若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆交于M,N两点，直线PM，PN的斜率乘积为，求椭圆的方程.

答案

（1）两个焦点坐标为
（2）椭圆方程为

解析

解：（1）由直线与圆相切知：，得…………………………………（2分）
由，得，则
∴两个焦点坐标为……………………………………………（4分）
（2）由于过原点的直线L与椭圆的两个交点关于原点对称
不妨设：
∵在椭圆上，∴满足，相减得: ……………(8分)
由题意知斜率存在，则………………………（10分）

由，得，∴所求的椭圆方程为 ……………………………（12分）