题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点．直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．

答案

（1）
（2）
（3）当时，的面积最大，最大值为

解析

解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有
 解得　　　　．
所求椭圆方程为．      ……………………………3分
（2）由，得．
设点、的坐标分别为、，则
．
（1）当时，点、关于原点对称，则．
（2）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得      即
点在椭圆上，有，
化简，得．
，有．………………①        
又，
由，得．……………………………②　　 　
将①、②两式，得．
，，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．………………8分
【注】 此题可根据图形得出当时，当、两点重合时．
如果学生由此得出的取值范围是可酌情给分．
（3），点到直线的距离，
的面积
．         
由①有，代入上式并化简，得．
，．         
当且仅当，即时，等号成立．
当时，的面积最大，最大值为．…………… 12分