题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分14分)
已知椭圆G与双曲线有相同的焦点，且过点
(1)求椭圆G的方程
(2)设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由

答案

解：(1)双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为…………1分
设椭圆的长轴长为，则，即，
又，所以  ∴椭圆G的方程………………5分
(2)如图,设内切圆M的半径为,与直线的切点为C，则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.
即
当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大, ………………7分
设、(),则,
由,得,………………9分
解得,,
∴,令,则,且,
有,令,则,……………11分
当时,,在上单调递增,有,,
即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,……………12分
∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为. ………………13分

解析

略