题目

题型：不详难度：来源：

已知焦点在x轴的椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点  在直线（为长半轴，为半焦距）上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值

答案

（1）又由点M在准线上，得         
故，   从而                          
所以椭圆方程为                           
（2）以OM为直径的圆的方程为
即                                
其圆心为,半径                              
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离            
所以，解得
所求圆的方程为                        
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN：               
由得

所以线段ON的长为定值。                       
方法二、设，则 
             
又
所以，为定值

解析

略