题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个顶点， 过椭圆中心，且，，
（1）求椭圆的方程；   
（2）如果椭圆上两点、使的平分线垂直，则是否存在实数使？请说明理由。

答案

（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系

则A（2，0），设所求椭圆的方程为： =1(0<b<2),
由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由·=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上
∴=1,∴b²=,所求的椭圆方程为=1             ……………5分
（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
由 得：(1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0（*）   ……………8分
∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为,设P（x_P,y_P）,Q(x_Q,y_Q),x_P=,  同理x_Q=,
k_PQ=…10分
而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0）      ∴k_AB= 
∴k_PQ=k_AB，∴与共线，且≠0,即存在实数λ，使=λ.

解析

（Ⅰ）根据椭圆的标准方程可知应以O为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系,然后由条件可知△ABC是直角三角形，进可确定△AOC是等腰直角三角形,这样易得C（1，1），代入椭圆标准方程问题可解.(2)涉及直线与椭圆的位置关系，然后两方程联立，利用韦达定理，解决交点坐标的问题,然后再借助向量共线的条件进行证明即可.