题目

题型：不详难度：来源：

如图,直角梯形ABMN中,∠NAB=90°，AN∥BM,AB=2,AN=,BM=,椭圆C以A,B为焦点且过点N.

（1）建立适当的坐标系,求椭圆C方程;
(2)若点E满足,问是否存在不平行AB的直线L与椭圆C交于P,Q两点,且|PE|=|QE|,若存在,求出直线L与AB夹角的范围;若不存在,说明理由?

答案

（1）
（2）存在           L与AB的夹角范围为(0,

解析

(1)先建立直角坐标系，设所求椭圆方程为,根据AB=2,AN=,BM=，得A(-1,0), B(1,0), N(-1,),代入椭圆方程可求得；(2)设L:y="kx+m" (k≠0),与椭圆方程联立，求得PQ的中点坐标用k，m表示，由PQ⊥EFm=,由Δ>0可得4k²+3≥m²。
解:(1)以AB所在直线为x轴,AB中点O为原点建立如图所示的坐标系,
A(-1,0), B(1,0), N(-1,),
设所求椭圆方程为, …………………2分
把N点坐标代入椭圆方程,可得:,,
解得,
故所求椭圆方程为:
(2)设E(x,y),M(1,)∵∴E(0,1)
显然L:x=0不满足
设L:y="kx+m" (k≠0),与椭圆方程
联立可得:(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0
由Δ>0可得4k²+3≥m², ……………………9分
设PQ的中点为F(x₀,y₀),P(x₁,y₁)
Q(x₂,y₂),则2x₀=,2y₀=
由PQ⊥EFm=,
∴≥,
∴0<k²≤1,∴k∈[-1,1]且k≠0∴L与AB的夹角范围为(0,…13分