题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

答案

（1）椭圆的方程为． （2）的最大值为11．

解析

(1)由题设知，，，由，得,从而得到关于a的方程，求出a值.
(2)设圆的圆心为，则 
           ,
从而把的最大值转化为求的最大值,再利用两点间的距离公式再借助P在椭圆上，可以把转化为关于P的横坐标x的函数问题来解决.
（1）由题设知，，，………………………1分
由，得．………………3分
解得．所以椭圆的方程为．…………………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则 ……………………6分
           ……K…………………………7分
．………………………………………8分
从而求的最大值转化为求的最大值．………………………9分
因为是椭圆上的任意一点，设，……………………………10分
所以，即．…………………………11分
因为点，所以．……………12分
因为，所以当时，取得最大值12．……………13分
所以的最大值为11．……………………………14分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以 …………………………6分
所以……………………7分


．……………………………9分
因为点在圆上，所以，即．…………10分
因为点在椭圆上，所以，即．………………11分
所以．……………………………12分
因为，所以当时，．…………………14分
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，……………6分
由，解得．………………………7分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．…………………8分
所以 ………9分
所以．
………10分
因为，所以当时，取得最大值11．……………11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，
由，解得或．
不妨设，，．……………………5u…………………12分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．………13分
综上可知，的最大值为11．…………………………………14分