题目
题型:不详难度:来源:
(1)若一直线与椭圆交于两不同点,且线段恰以点为中点,求直线的方程;
(2)若过点的直线(非轴)与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在定点,使恒为定值?若存在,求出点的坐标及实数的值;若不存在,请说明理由.
答案
解析
(1)点在椭圆内部,直线与椭圆必有公共点
再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式,
(2)假定存在定点,使恒为定值
由于直线不可能为轴
于是可设直线的方程为且设点
将代入得到一元二次方程,进而利用向量的关系得到参数的值。
解:(1)点在椭圆内部,直线与椭圆必有公共点
设点,由已知,则有
两式相减,得
而直线的斜率为
直线的方程为
(2) 假定存在定点,使恒为定值
由于直线不可能为轴
于是可设直线的方程为且设点
将代入得
.
显然
,
则
若存在定点使为定值(与值无关),则必有
在轴上存在定点,使恒为定值
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,椭圆为(1)若一直线与椭圆交于两不同点,且线段恰以点为中点,求直线的方程;(2)若过点的直线(非轴)与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
A. | B. | C.或 | D.或 |
(1)焦点在坐标轴上,且经过两点;
(2)经过点(2,-3)且与椭圆具有共同的焦点.
距离也为,则该椭圆的离心率为
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