题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点F2 ,斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A为椭圆的右顶点,直线、分别交直线于点、,线段的中点为,记直线的斜率为.求证:为定值.
答案
解析
试题分析:(1)由椭圆两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点可得,从而得到椭圆方程.(2)通过题目条件,将直线方程设出来,再将它与椭圆交点坐标设出来,即点,点,再分别表示出直线、的方程,令,得到点,,的坐标,再利用中点坐标公式得到线段的中点为的坐标,利用斜率公式即得到,通过联立直线与椭圆方程,用韦达定理替换,,化简之后即可证明为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的,充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.
试题解析:(1)由条件知, 2分
故所求椭圆方程为. 4分
(2)设过点的直线方程为:,设点,点,
将直线方程代入椭圆:,
整理得:, 6分
因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,恒成立,且
8分
直线的方程为:,直线的方程为:,令,
得点,,所以点的坐标. 9分
直线的斜率为.
. 11分
将代入上式得:
.
所以为定值. 14分
核心考点
试题【已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2 ,斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C.或 | D. |
(1)求椭圆方程.
(2)已知为椭圆的左右两个顶点,为椭圆在第一象限内的一点,为过点且垂直轴的直线,点为直线与直线的交点,点为以为直径的圆与直线的一个交点,求证:三点共线.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线与曲线相交于不同的两点,.若点在轴上,且,求点的纵坐标的取值范围.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点C(-1,0)且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点,试问在轴上是否存在点,使是与无关的常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)写出的方程;
(2)若点在第一象限,证明当时,恒有.
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