题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
答案
解析
解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1,
又e=,故b2==8,从而a2==16.
故该椭圆的标准方程为+=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×(1-)=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).
设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,
因此,当x=x1时|QM|2取最小值,
又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,
从而x1=2x0,且|QP|2=8-.
由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
所以S=|2y1||x1-x0|
=×2|x0|
=
=·.
当x0=±时,△PP′Q的面积S取得最大值2.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,
因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.
核心考点
试题【如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.
(1)求圆C和椭圆D的方程;
(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.
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