题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若θ=90°,,求实数m;
(3)试问的值是否与θ的大小无关,并证明你的结论.
答案
解析
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)在椭圆方程=1中,令x=4m,解得y=±.
∵当θ=90°时,直线MN⊥x轴,此时FM=FN=,∴=.
∵=,∴=,解得m=.
(3)的值与θ的大小无关.
证明如下:(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2.
∵=,=,∴=.
又由图可知,MFcosθ+d1=-c=,
∴d1=,即=.
同理,==(-cosθ+1).
∴=+(-cosθ+1)=.
∴=·=.显然该值与θ的大小无关.
(证法2)当直线MN的斜率不存在时,由(2)知,的值与θ的大小无关.
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x-4m),
代入椭圆方程=1,得(25k2+9)m2x2-200m3k2x+25m4(16k2-9)=0.
设点M(x1,y1)、N(x2,y2),∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1·x2=.
∵=,=,∴MF=5m-x1,NF=5m-x2.
∴=.
显然该值与θ的大小无关.
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0,m为常数),离心率等于0.8,过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;
(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴右侧,圆M被y轴截得的弦长为r.
(ⅰ)求圆M的方程;
(ⅱ)当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,说明理由.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求椭圆E的方程;
(2)若Rt△MAB面积的最大值为,求a;
(3)对于给定的实数a(a>1),动直线AB是否经过一定点?如果经过,求出定点坐标(用a表示);反之,说明理由.
(1)求证:=1;
(2)P是椭圆E上异于A1、A2的一点,若直线PA1、PA2的斜率之积为-,求椭圆E的方程;
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点,且·=0,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.
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