题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案
解析
(2)由消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,
即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)
此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.
由得Q(4,4k+m).
假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.
设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k恒成立.
因为=,=(4-x1,4k+m),
由·=0,得--4x1+++3=0,
整理,得(4x1-4)+-4x1+3=0.(**),方程无解.
故不存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M.
审题引导:(1)建立方程组求解参数a,b,c;(2)恒成立问题的求解;(3)探索性问题的一般解题思路.
规范解答:解:(1)因为AB+AF2+BF2=8,
即AF1+F1B+AF2+BF2=8,(1分)
又AF1+AF2=BF1+BF2=2a,(2分)
所以4a=8,a=2.又因为e=,即=,所以c=1,(3分)
所以b==.故椭圆E的方程是=1.(4分)
(2)由消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.(5分)
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,(6分)
即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)(7分)
此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.(8分)
由得Q(4,4k+m).(9分)
假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.(10分)
设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k恒成立.
因为=,=(4-x1,4k+m),
由·=0,得--4x1+++3=0,
整理,得(4x1-4)+-4x1+3=0.(**)(12分)
由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.(13分)
故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.(14分)
错因分析:本题易错之处是忽视定义的应用;在处理第(2)问时,不清楚圆的对称性,从而不能判断出点M必在x轴上.同时不会利用恒成立求解.
核心考点
试题【如图,椭圆E:=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)设】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求椭圆E的方程;
(2)若Rt△MAB面积的最大值为,求a;
(3)对于给定的实数a(a>1),动直线AB是否经过一定点?如果经过,求出定点坐标(用a表示);反之,说明理由.
(1)求证:=1;
(2)P是椭圆E上异于A1、A2的一点,若直线PA1、PA2的斜率之积为-,求椭圆E的方程;
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点,且·=0,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)以曲线C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与曲线C交于点M与点N,求·的最小值,并求此时圆T的方程.
(1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;
(2)当=λ,求λ的最大值.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,点、分别在椭圆和上,,求直线的方程.
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