题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
(ⅰ)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程,
并证明;
(ⅱ)求证:线段的长为定值.
答案
解析
试题分析:(1)求椭圆方程,利用待定系数法,列两个独立方程就可解出因为短轴上的一个端点到的距离为,所以而所以再根据“准圆”定义,写出“准圆”方程.(2)(ⅰ)直线与椭圆相切问题,通常利用判别式为零求切线方程,利用点斜式设直线方程,与椭圆方程联立消得关于的一元二次方程,由判别式为零得斜率,即证得两直线垂直.(ⅱ)本题是(ⅰ)的一般化,首先对斜率是否存在进行讨论,探讨得斜率不存在时有两直线垂直,即将问题转化为研究直线是否垂直问题,具体就是研究是否成立.研究思路和方法同(ⅰ),由于点坐标在变化,所以由判别式为零得关于点坐标的一个等式:,即,而这等式对两条切线都适用,所以的斜率为方程两根,因此.当垂直时,线段为准圆的直径,为定值4.
试题解析:解:(1),
椭圆方程为, 2分
准圆方程为. 3分
(2)(ⅰ)因为准圆与轴正半轴的交点为,
设过点且与椭圆相切的直线为,
所以由得.
因为直线与椭圆相切,
所以,解得, 6分
所以方程为. 7分
,. 8分
(ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线斜率不存在,
则:,
当:时,与准圆交于点,
此时为(或),显然直线垂直;
同理可证当:时,直线垂直. 10分
②当斜率存在时,设点,其中.
设经过点与椭圆相切的直线为,
所以由
得 .
由化简整理得 ,
因为,所以有.
设的斜率分别为,因为与椭圆相切,
所以满足上述方程,
所以,即垂直. 12分
综合①②知:因为经过点,又分别交其准圆于点,且垂直.
所以线段为准圆的直径, ,
所以线段的长为定值. 14分
核心考点
试题【给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;(2)点是椭圆的“准】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于、两点, 为原点,在、上分别存在异于点的点、,使得在以为直径的圆外,求直线斜率的取值范围.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
(1)求椭圆C的方程
(2)若过点M(2,0)的引斜率为的直线与椭圆C相交于两点G、H,设P为椭圆C上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围?
A. B. C. D.
(1)求椭圆C的方程
(2)若过点M(2,0)的引斜率为的直线与椭圆C相交于两点G、H,设P为椭圆C上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围?
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