题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于，两点，且、、三点互不重合．

（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

答案

（1）；（2）详见解析

解析

试题分析：（1）根据题意及列方程组可得的值。即可得此椭圆方程。（2）设出的坐标及直线的方程与椭圆方程联立消掉可得关于的方程，根据题意可知判别式应大于0，根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点横坐标间的关系，代入直线方程，可得点纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和，将其化简问题即可得证。
试题解析：由题意，可得，代入
得，又，      2分
解得，，，
所以椭圆的方程.        5分
(2)证明：设直线的方程为，又三点不重合，∴，设，，
由得
所以 
 ①   ②       8分
设直线，的斜率分别为，，
则
 (*)       10分
将①、②式代入(*)，
整理得，
所以，即直线的斜率之和为定值.          12分