题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程.
(2)设斜率为的直线与相交于、两点,记面积的最大值为,证明:.
答案
解析
试题分析:(1)利用题干中的已知条件分别求出、、,从而写出椭圆的方程;(2)设直线的方程为,将直线的方程与椭圆的方程联立,借助韦达定理求出弦长,并求出原点到直线的距离,然后以为底边,为高计算的面积,利用基本不等式验证时和时的最大面积与,从而证明题中的结论.
试题解析:(1)由题意,得椭圆的半焦距,右焦点,上顶点,
所以直线的斜率为,
解得,
由,得,
所以椭圆W的方程为;
(2)设直线的方程为,其中或,,.
由方程组得,
所以,(*)
由韦达定理,得,.
所以.
因为原点到直线的距离,
所以,
当时,因为,
所以当时,的最大值,
验证知(*)成立;
当时,因为,
所以当时,的最大值;
验证知(*)成立.
所以.
注:本题中对于任意给定的,的面积的最大值都是.
核心考点
试题【已知椭圆的焦距为,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为,为坐标原点.(1)求椭圆的方程.(2)设斜率为的直线与相交于、两点,记面积的最大值为,证明:.】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若点P的坐标,求m的值;
(2)若椭圆C上存在点M,使得,求m的取值范围.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,设点P是椭圆上的任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△的面积.
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