题目
题型:不详难度:来源:
(1)求m2+k2的最小值;
(2)若|OG|2=|OD|∙|OE|,
(i)求证:直线l过定点;
(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.
答案
解析
由题意,t>0,由方程组,得(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣3=0,
由题意△>0,
所以3k2+1>t2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=﹣,所以y1+y2=,
∵线段AB的中点为E,∴xE=,yE=,
此时kOE==﹣.
所以OE所在直线方程为y=﹣x,
又由题设知D(﹣3,m).
令x=﹣3,得m=,即mk=1,
所以m2+k2≥2mk=2,
(2)(i)证明:由(1)知OD所在直线方程为y=﹣x,
将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(﹣,),
又E(,),D(﹣3,),
由距离公式和t>0,得
|OG|2=(﹣)2+()2=,
|OD|=,
|OE|==.
由|OG|2=|OD|∙|OE|,
得t=k,
因此直线l的方程为y=k(x+1),
所以直线l恒过定点(﹣1,0);
(ii)由(i)得G(﹣,),
若点B,G关于x轴对称,则B(﹣,﹣),
将点B坐标代入y=k(x+1),
整理得,
即6k4﹣7k2+1=0,解得k2=或k2=1,
验证知k2=时,不成立,故舍去
所以k2=1,又k>0,故k=1,
此时B(﹣,﹣),G(﹣,)关于x轴对称,
又由(I)得x1=0,y1=1,所以点A(0,1),
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),
因此d2+1=(d+)2+,解得d=﹣,
故△ABG的外接圆的半径为r==,
所以△ABG的外接圆方程为.
核心考点
试题【(2011•山东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P(m,0),求实数m的取值范围.
求椭圆的方程;
设椭圆的上顶点为,过点作椭圆的两条动弦,若直线斜率之积为,直线是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上,求椭圆的方程.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为.
求证: 为定值.
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