题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的方程;
(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.
答案
解析
试题分析:(1)利用椭圆和双曲线之间的关系可以用分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题目和即可得到之间的两个方程,联立方程消元即可求出的值,得到双曲线和椭圆的标准方程.
(2)利用(1)求出焦点的坐标,设出弦的直线的方程,联立直线与椭圆消得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系得到两点纵坐标之间的和与积,进而得到点的纵坐标带入AB直线即可得到的横坐标,进而求出直线的方程,即为直线的方程,联立直线的方程得到的取值范围和求出点的坐标得到的长度,利用点到直线的距离得到到直线的距离表达式,进而用表示四边形的面积,利用不等式的性质和的取值范围即可得到面积的最小值.
(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.
(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,
则 ,又因为在直线上,所以,
则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.
核心考点
试题【如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求的方程;
(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求直线的斜率.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
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