题目

题型：模拟题难度：来源：

设双曲线的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点。
 （1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
 （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）由A₁、A₂分别为双曲线的左、右顶点知


两式相乘得
∵点P（x₁，y₁）在双曲线上
，即
∴
∴
即直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程为；
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且
又设该圆的切线方程为y=kx+m，
由消去y，得
则
即
设
则
∴
要使，需使
即0
∴
解得或
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为
，故所求圆为
此时圆的切线y=kx+m都满足或
而当切线的斜率不存在时，切线为与椭圆
的两个交点为或
满足
综上，存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B
且。