题目

题型：0128 期末题难度：来源：

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

答案

解：(Ⅰ)依题意知a=2，c=1，得b²=3，
∴椭圆C的方程是：；
(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
知椭圆C的右顶点为M（2，0），
由，
且，
而，
∴，
∴，
整理得，
当m=-2k时，l：y=k（x-2）过定点(2，0)为右顶点，与已知矛盾；
当时，l：过定点，此时；
综上知，直线l过定点。