题目

题型：山东省期中题难度：来源：

已知点F₁，F₂分别为椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为+1，且△PF₁F₂的最大面积为1。
（1）求椭圆C的方程。
（2）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点。对于任意的k∈R，是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 

答案

解：（1）由题意可知：a+c=+1 ，×2c×b=1，
有∵a²=b²+c²，
∴a²=2，b²=1，c²=1，
∴所求椭圆的方程为：；
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1），
A（x₁，y₁） ，B（x₂，y₂），M（，0）
联立消去y得：
则
∵，
∴


∴对任意x∈R，有为定值。