题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值。

答案

解：抛物线的焦点为
∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为，
即
∵，
∴a=2，
∴椭圆的标准方程为；
（2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交
①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），
∴，不合题意；
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
，，

=
所以，
故直线l的方程为或；
（3）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=
=
由消去y，
并整理得：，
|AB|=，
∴为定值 。