题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

已知椭圆C：的离心率为，且过点。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆D经过坐标原点.证明：圆D的半径为定值.

答案

解：（Ⅰ）∵
∴
又∵
∴
∴方程为，代点得a²=4
∴b²=1
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）当AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x₁=x₂，y₁=-y_{2
∵以AB为直径的圆经过原点，
∴
即
∴
代入椭圆标准方程中得
此时0到AB的距离为
（2）当AB的斜率为零时，则由椭圆的对称性知
同理可求得，
综上所述，圆D的半径为定值。}