题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，
|BE|，|DE|成等比数列，求k²的值．

答案

解：（Ⅰ）由已知 ， ．
解得 ，
所以b²=a²﹣c²=1，
椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y=kx+1，
由 得（4k²+1）x²+8kx=0，
所以 ，所以 ，
依题意k≠0， ．
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，
所以|BE|²=|BD||DE|，
所以b²=（1﹣y_D）|y_D|，
即（1﹣y_D）|y_D|=1，
当y_D＞0时，y_D²﹣y_D+1=0，无解，
当y_D＜0时，y_D²﹣y_D﹣1=0，解得 ，
所以 ，
解得 ，
所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时， ．