题目
题型:月考题难度:来源:
(1)求椭圆E的方程;
(2)过x轴上一点M(m,0)(m≠-2)作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点.
(i)若以CD为直径的圆恒过A点,求实数m的值;
(ii)若△ACD的重心恒在y轴的左侧,求实数m的取值范围.
答案
∴∠OFB=30°(O为坐标原点)在直角△BOF中,|FB|=2|OB|
∵a=2b ∵点A(﹣2,0)在椭圆上
∴a=2 ∴b=1 ∴椭圆;
(2)∵直线l过x轴上一点M(m,0)(m≠﹣2)不垂直于y轴
∴l:x=ty+m与椭圆方程联立
消元整理可得(t2+4)y2+2mty+m2﹣4=0
∴△=4m2t2﹣4(t2+4)(m2﹣4)>0
∴t2>m2﹣4设C(x1,y1),D(x2,y2)
∴,
(i)若以CD为直径的圆恒过A点,则∵=(x1+2,y1),=(x2+2,y2)
∴x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=
∴或m=﹣2(舍去)
∴实数m的值为;
(ii)若△ACD的重心恒在y轴的左侧,即重心的横坐标恒小于0,即,∴
∴4m<t2+4对所有符合条件的t恒成立
由t2>m2﹣4知:
①若m2﹣4<0,即﹣2<m<2时,t2∈[0,+∞)
∴t2+4≥4 ∴m<1 ∴﹣2<m<1;
②若m2﹣4≥0,即m≤﹣2或m≥2时,t2∈(m2﹣4,+∞),∴4m<m2,∴m≤0或m≥4
综上知,实数m的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,1)∪[4,+∞)
核心考点
试题【已知点A(-2,0)在椭圆上,设椭圆E与y轴正半轴的交点为B,其左焦点为F,且∠AFB=150°.(1)求椭圆E的方程;(2)过x轴上一点M(m,0)(m≠-2】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,,求直线AB的方程。
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P。
(i)若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;
(ii)求证:PF1+PF2是定值。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(0,﹣).
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值。
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