题目
题型:不详难度:来源:
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2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点S(-
1 |
3 |
答案
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
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2 |
2a=|PF1|+|PF2|=
(
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(
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2 |
所以,a=
2 |
椭圆C的方程为x2+
y2 |
2 |
(II)解法一:
若直线l与x轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1;
若直线l垂直于x轴时,则以AB为直径的圆是(x+
1 |
3 |
16 |
9 |
由
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因此,如果存在点T满足条件,则该点只能是(1,0)
下面证明T(1,0)就是所求的点.
若直线l垂直于x轴时,
则以AB为直径的圆经过点(1,0);
若直线l不垂直于x轴时,可设直线l:y=k(x+
1 |
3 |
由
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2 |
3 |
1 |
9 |
记A(x1,y1)、B(x2,y2),则
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又因为
TA |
TB |
则
TA |
TB |
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
9 |
=(k2+1)•
k2-18 |
9(k2+2) |
1 |
3 |
-2k2 |
3(k2+2) |
1 |
9 |
所以,TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过定点T(1,0),
故平面上存在一个定点T(1,0)满足题设条件
解法二:(I)由已知c=1,设椭圆方程为
y2 |
a2 |
x2 |
a2-1 |
因为点P在椭圆上,则
1 |
a2 |
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a2-1 |
所以椭圆方程为x2+
y2 |
2 |
(II)如果存在定点T(u,v)满足条件.
若直线l垂直于x轴时,
则以AB为直径的圆经过点(1,0);
若直线l不垂直于x轴时,可设直线l:y=k(x+
1 |
3 |
由
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2 |
3 |
1 |
9 |
记A(x1,y1)、B(x2,y2),则
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∵又因为
TA |
TB |
则
TA |
TB |
=(x1-u)(x2-u)+(kx1+
1 |
3 |
1 |
3 |
=(k2+1)x1x2+(
1 |
3 |
1 |
9 |
2 |
3 |
=(k2+1)•
k2-18 |
9(k2+2) |
1 |
3 |
-2k2 |
3(k2+2) |
1 |
9 |
2 |
3 |
=
(3u2+2u+3v2-5)k2-4vk+6u2+6v2-6 |
3(k2+2) |
当且仅当
TA |
TB |
TA |
TB |
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解得u=1,v=0
所以当u=1,v=0时,无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T(1,0).
故平面上存在一个定点T(1,0)满足题目条件.
核心考点
试题【以F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P(22,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
10 |
3 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值.
(1)建立直角坐标系,求城际轻轨所在曲线E的方程;
(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N,使M、N、B三点在一条直线上,并且AM+AN=12个单位距离,求M、N之间的距离有多少个单位距离?
(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l,直线l与曲线E交于P,Q两点,求四边形PAQB的面积的最大值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AO(O是坐标原点)与椭圆C相交于点B,试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P,使AP2=AB2+BP2(不需要求出点P的坐标).