题目

题型：0116 模拟题难度：来源：

设F₁、F₂分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点。
（1）设椭圆C上点到两点F₁、F₂距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF₁的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN，试探究k_PM·k_PN的值是否与点P及直线L有关，不必证明你的结论。

答案

解：（1）由于点在椭圆上，
∴，
又2a=4，
∴椭圆C的方程为，焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）。
（2）设KF₁的中点为B（x， y），则点K（2x+1，2y），
把K的坐标代入椭圆中得，，
∴线段KF₁的中点B的轨迹方程为。
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设，
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，得，，
∴，
故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关。