题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

已知点M(k，l)、P(m，n)，(klmn≠0)是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E(x_E，0)和点F(x_F，0)，
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）当曲线C的方程分别为：x²+y²=R²（R＞0）、时，探究x_E·x_F的值是否与点M、N、P的位置相关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y²=2px（p＞0）时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论。（只要求写出你的探究结论，无须证明）

答案

解：（Ⅰ）依题意N(k，-l)，且∵klmn≠0及MP、NP与x轴有交点知：
M、P、N为不同点，直线PM的方程为，
则，同理可得。
（Ⅱ）∵M，P在圆C：x²+y²=R²上，
∴，(定值)，
∴的值是与点M、N、P位置无关，
同理∵M，P在椭圆C：上，
∴，(定值)，
∴的值是与点M、N、P位置无关。
（Ⅲ）一个探究结论是：，
证明如下：依题意，，，
∵M，P在抛物线C：y²=2px(p＞0)上，
∴n²=2pm，l²=2pk，
，
∴为定值。