题目

题型：北京高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）因为点B与点A（-1，1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1，-1）
设点P的坐标为（x，y）
由题意得
化简得x²+3y²=4（x≠±1）
故动点P的轨迹方程为x²+3y²=4（x≠±1）；
（2）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀）
则
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以
即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得
因为x₀²+3y₀²=4，
所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为。