题目

题型：0127 模拟题难度：来源：

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，直线PF₁与圆C相切。

（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围。

答案

解：（1）点A代入圆C方程得

∵m＜3
∴m=1
圆C：
设直线PF₁的斜率为k
则PF₁：
即
∵直线PF₁与圆C相切
∴
解得或
当时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去
当时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-4
∴c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），2a=AF₁+AF₂=，
，a²=18，b²=2
椭圆E的方程为：。
（2），设Q（x，y），，

∵，
即，
而，
∴-18≤6xy≤18
则的取值范围是[0，36]
的取值范围是[-6，6]
∴的取值范围是[-12，0]。